3eme Collège

Développement, factorisation et identités Remarquables

Cours

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Series

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Quizz

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- Contenu -
  • Expressions Littérales.
  • Identités Remarquables.
- PREREQUIS -
  • Les 4 Operations sur les nombres rationnels.
  • Calculs littérales.
  • Développements, factorisations et simplifications des expressions algébriques.
- COMPetences Exigibles -

Utilisation des identités remarquables :

  •  \((a+b)^{2}=a^2 + 2 \times a \times b + b^{2}\)
  •  \((a-b)^{2}=a^2 – 2 \times a \times b + b^{2}\)
  •  \((a+b) \times (a-b)=a^2 – b^{2}\)

en deux sens, avec \(\textbf{a} \) et \(\textbf{b} \) sont deux nombres réels.

- Activités -
- Cours -
\(I. ~Simplification ~d’une~ expression~ littérale ~:\)

\(Conventions ~:\)

Pour Simplifier l’écriture d’une expression littérale, on peut supprimer le symbole \(\times\) devant une lettre ou une parenthèse.

Pour tout nombre a on peut écrire : \(a \times a = a^{2}\)

\(II. ~Développement ~:\)

  1. \(La~distributivité~Simple ~:\)

 

Propriétés :

Pour tous nombre réels \(k, ~a ~et ~b~ : \)

  • \(k\) \(~\times ~(a+b) ~=~\) \(k\) \(~\times~ a ~+ ~\)\(k\) \(~\times~ b~\)
  • \(k\) \(~\times ~(a-b) ~=~\) \(k\) \(~\times~ a ~- ~\)\(k\) \(~\times~ b~\)

Exemple : Développer l’expression : \( \hspace{1cm}C=-1,5 (x+2)\)

\(
\begin{align}
C &=-1,5\times (x+2)\\C &=-1,5 \times x + (-1,5)\times 2 \\
C &=-1,5 x -(1,5 \times 2)\\
C &=-1,5 x- 3 \\
\end{align}\)\(
\begin{align}
 &\longrightarrow ~On~ replace~ le~ signe~ (\times) ~dans~ l’expression.\\ &\longrightarrow ~On~ distribue~ le~ terme~ (-1,5) ~aux~ termes ~ x~ et~ 2.\\
&\longrightarrow ~On~ fait ~sortir ~ le ~signe~(-).\\
 &\longrightarrow ~On~ calcule~ et~ on~ simplifie~ l’expression.\\
\end{align}\)
  1. \(La~distributivité~Double ~:\)
 
Propriétés :

Pour tous nombre réels \(a, ~b, ~c, ~ et ~d~ : \)

  • \((a+b)\) \(~\times ~(c+d) ~=~\) \(a\) \(~\times~ c ~+~ \)\(a\) \(~\times~ d~+~\) \(b\) \(~\times~ c ~+ ~\)\(b\) \(~\times~ d~\)

Exemple : Développer l’expression : \( \hspace{1cm}C=(x+2)(2y-1)\)

\(
\begin{align}
C &=(x+2)\times (2y+(-1))\\C &=x \times 2y +x\times (-1) +2 \times 2y + 2 \times (-1) \\
C &=2xy -x+4y-2\\
\end{align}\)\(
\begin{align}
\hspace{1cm} &\longrightarrow \hspace{1cm}~On~ transforme~ la~ soustraction.\\ &\longrightarrow \hspace{1cm}~On~ applique~ la~ double~ distributivité.\\
 &\longrightarrow \hspace{1cm}~On~ calcule~ et~ on~ simplifie~ l’expression.\\
\end{align}\)

\(III. ~Factorisation~:\)

Propriétés :

Pour tous nombre réels \(k, ~a ~et ~b~ : \)

\(k\) \(~\times ~a~+~\) \(k\) \(~\times~ b ~=~ \)\(k\) \(~\times~ (a~+~b)\) 

\(k\) \(~\times ~a~-~\) \(k\) \(~\times~ b ~=~ \)\(k\) \(~\times~ (a~-~b)\) 

Exemple : Factoriser les expressions suivantes : \( \hspace{1cm}E=14a -7b \hspace{1cm} puis \hspace{1cm}F=-x^2+3x \)

Cas où le facteur commun est un nombre :

\(
\begin{align}
E &=14 ~\times ~a – ~7 ~\times ~ b\\E &=7 ~\times ~2~ \times ~a ~- 7~ \times ~b \\
E&=7 ~ \times ~ (~ 2a~- b~) \\
\end{align}\)\(
\begin{align}
\hspace{1cm} &\longrightarrow \hspace{1cm}~On~ replace~ le~ signe~ (\times) ~dans~ l’expression.\\ &\longrightarrow \hspace{1cm}~On~ met~ en~ évidence~ le ~ facteur ~ commun ~ 7.\\
&\longrightarrow \hspace{1cm}~On~ met ~en ~facteur~ le ~nombre~ 7 ~et ~on ~regroupe ~les ~facteurs ~restants.\\
\end{align}\\\)

Cas où le facteur commun est une inconnue :

\(
\begin{align}
F &=-x ~ \times ~x~ – ~3~ \times ~x\\F&=x ~\times ~(-x~+~3) \\
F &=x ~ \times ~ (3~-~x)\\
\end{align}\)\(
\begin{align}
\hspace{1cm} &\longrightarrow \hspace{1cm}~On~ replace~ les~ signes~ (\times) ~dans~ l’expression ~et ~on ~repère ~le~ facteur~ commun~ x.\\ &\longrightarrow \hspace{1cm}~On~ met~ en~ facteur~ le~ facteur ~commun ~x~ et~ on ~regroupe ~les~ termes~ restants.\\
&\longrightarrow \hspace{1cm}~Attention ~:~ L’addition ~est ~commutative.\\
\end{align}\)

\(IV. ~Identités~remarquables~:\)

Propriétés :

Pour tous nombre réels \(a ~et ~b~ : \)

\(\begin{align}(a+b)^{2}&=a^{2}~+~2~\times ~a~\times ~b~+~b^{2}\\(a+b)^{2}&=a^{2}~-~2~\times ~a~\times ~b~+~b^{2} \\(a+b)(a-b)&=a^{2}~-~b^{2}\\ \end{align}\)

Réponses :

On a :
\( \begin{align}
(a-b)(a+b) &=a \times (a+b) - b \times (a+b) \\
&=a\times a + a \times (b) - b \times a - b \times b\\
&=a^{2} - b^{2}\\
Donc :
(a-b)(a+b) &=a^{2}- b^{2}\\
\end{align}\)

Réponses :

On a :
\( \begin{align}
(a-b)^{2} &=(a+(-b))^{2} \\
&=a\times a + 2 \times a \times (-b) + b\times b\\
&=a^{2} - 2 \times a \times b + b^{2}\\
Donc :
(a-b)^{2} &=a^{2}- 2 \times a \times b + b^{2}\\
\end{align}\)

Réponses :

On peut calculer l'aire du carrée par deux méthodes :

$$ \fbox{Methode 1}$$
La formule pour calculer l'aire d'un carrée de coté \( c\) est \( c \times c\).
D'après la figure, on remarque que : \( c=a+b \).
Donc l'aire du carrée \(ABCD\) est : \( \mathbb{A}=(a+b)(a+b)\)
On développe l'expression :
\( \begin{align}
(a+b)(a+b) &=a\times (a+b)+b\times (a+b)\\
&=a\times a+a\times b+b\times a+b \times b\\
&=a^{2}+2\times a \times b+b^{2}\\
\end{align}\)
\(\mathbb{Remarque} ~:~ Le ~produit ~est ~Commutatif.~~ (a\times b = b \times a)\)
$$ \fbox{Methode 2}$$
L'aire du carrée est la somme des différentes figures colorées : $$A=A_{bleu}+A_{orange}+A_{noir}+A_{blanc}$$
avec : \(\begin{align}
A_{bleu} &=a\times b\\
A_{orange} &=b\times a\\
A_{noir} &=a\times a=a^{2}\\
A_{blanc} &=b\times b=b^{2}\\
\end{align}\\
A=a^{2}+b^{2}+2 \times a \times b
\)

Réponses :

On peut calculer l'aire du carrée par deux méthodes :

$$ \fbox{Methode 1}$$
La formule pour calculer l'aire d'un carrée de coté \( c\) est \( c \times c\).
D'après la figure, on remarque que : \( c=a+b \).
Donc l'aire du carrée \(ABCD\) est : \( \mathbb{A}=(a+b)(a+b)\)
On développe l'expression :
\( \begin{align}
(a+b)(a+b) &=a\times (a+b)+b\times (a+b)\\
&=a\times a+a\times b+b\times a+b \times b\\
&=a^{2}+2\times a \times b+b^{2}\\
\end{align}\)
\(\mathbb{Remarque} ~:~ Le ~produit ~est ~Commutatif.~~ (a\times b = b \times a)\)
$$ \fbox{Methode 2}$$
L'aire du carrée est la somme des différentes figures colorées : $$A=A_{bleu}+A_{orange}+A_{noir}+A_{blanc}$$
avec : \(\begin{align}
A_{bleu} &=a\times b\\
A_{orange} &=b\times a\\
A_{noir} &=a\times a=a^{2}\\
A_{blanc} &=b\times b=b^{2}\\
\end{align}\\
A=a^{2}+b^{2}+2 \times a \times b
\)

Réponses :

On a :
\( \begin{align}
(a-b)^{2} &=(a+(-b))^{2} \\
&=a\times a + 2 \times a \times (-b) + b\times b\\
&=a^{2} - 2 \times a \times b + b^{2}\\
Donc :
(a-b)^{2} &=a^{2}- 2 \times a \times b + b^{2}\\
\end{align}\)

Réponses :

On a :
\( \begin{align}
(a-b)(a+b) &=a \times (a+b) - b \times (a+b) \\
&=a\times a + a \times (b) - b \times a - b \times b\\
&=a^{2} - b^{2}\\
Donc :
(a-b)(a+b) &=a^{2}- b^{2}\\
\end{align}\)